In der Spannungsfalle

Der Spannungsfall als Problemfall

Nichts auf der Welt ist perfekt, noch nicht einmal elektrotechnische Normen; wie viel Mühe auf deren Erstellung auch immer verwendet wird. Manchmal ist es auch – trotz aller Bemühungen um ein scharf definiertes Vokabular – unklar, was womit gemeint ist.

So erhielt die DKE vor einiger Zeit eine Zuschrift, mit der ein Nutzer auf eine Unklarheit bei der Formel zur Berechnung des Spannungsfalls aufmerksam machen wollte:

»In der neuen Ausgabe von DIN VDE 0100-520 [vom Juni 2013] findet sich in Anhang G eine neue Formel zur Berechnung des Spannungsfalls auf Leitungen. In dieser wird als spezifischer elektrischer Widerstand die tatsächliche Temperatur berücksichtigt. Daneben wird der Blindwiderstand je Längeneinheit des Leiters berücksichtigt. Für den cosφ wird – wenn nicht bekannt – ein Wert von 0,8 (sinφ = 0,6) angenommen. Eine Berechnung mit der alten Formel

ergibt für eine Wechselstromleitung, 16 A Nennstrom, 1,5 mm², bei einem Spannungsfall von 3% (UV = 6,9 V) bei einem κ von 56 m/(Ω*mm²) eine maximale Leitungslänge von ca. 18 m. Bei Berechnung mit der neuen Formel komme ich auf eine Länge von 14,375 m.

Verändere ich jetzt jedoch den cosφ auf 0,8, so erhalte ich nach der alten Formel eine maximale Leitungslänge von 22,6 m, nach der neuen Formel jedoch nur noch 3,59 m. Hier scheint in der Formel ein Fehler vorzuliegen. Könnten Sie das bitte mal prüfen?«

Dem Anfragenden war hier jedoch selbst ein Fehler unterlaufen – allerdings einer, den die Formulierung des Textes nahe legt. Die in der neuen Fassung der Norm verwendete Formel lautet:

mit

u Spannungsfall in Volt;

b Koeffizient (1 bei dreiphasigen Stromkreisen und 2 bei einphasigen Stromkreisen);

ρ1 spezifischer elektrischer Widerstand der Leiter im ungestörten Betrieb bei der entsprechenden Temperatur: 1,25-mal der spezifische elektrische Widerstand bei 20°C, also 0,0225 Ωmm²/m für Kupfer und 0,036 Ωmm²/m für Aluminium;

L gerade Länge der Kabel- und Leitungsanlage in m;

S Querschnitt der Leiter, in mm²;

cosφ Leistungsfaktor; falls nicht bekannt, wird ein Wert von 0,8 (sinφ = 0,6) angenommen;

λ Blindwiderstand je Längeneinheit des Leiters; falls nicht bekannt, wird ein Wert von 0,08 mΩ/m angenommen;

IB Betriebsstrom (in Ampere)

U0 Spannung zwischen Außen- und Neutralleiter, in Volt.

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Falle 1: Größen-Wirrwarr

Die erste Falle lauert auf der formalen Ebene. Es werden durchgängig und wild beliebig neue bzw. andere Formelzeichen verwendet als sämtlichen internationalen Festlegungen entspräche. Hier werden Tomaten in Äpfel, Äpfel in Birnen und Birnen in Kürbisse umbenannt. Gemäß SI-Einheiten steht dagegen:

S für Scheinleistung; Querschnittsfläche müsste A sein (eine Abweichung, die man leider in mehreren elektrotechnischen Normen findet).

L für Induktivität; Länge müsste l sein.

λ für Leistungsfaktor; induktive Reaktanz müsste XL sein (xL für längenbezogene Größen, so genannte Beläge).

Offensichtlich war dies in der alten Version noch richtig gewesen. Überflüssig – ja, sogar falsch – ist auch die Einschränkung, dass für die Größen bestimmte Einheiten vorgegeben werden. Dies ist nur für so genannte »zugeschnittene Größengleichungen« notwendig, in die bestimmte Faktoren schon eingearbeitet sind. Die vorliegende Formel müsste auch dann korrekte Ergebnisse liefern, wenn man (aber dann alle) Spannungen in Millivolt und (aber wenn, dann alle) Ströme in Kiloampere eingibt. Ein weiterer Widerspruch ergibt sich dadurch, dass man diesen Fehler bzw. diese unnötige Bestimmung nicht konsequent durchzieht, sondern in einem Fall von »Blindwiderstand je Längeneinheit« spricht. »Blindwiderstand pro Meter« hätte es dann heißen müssen, wenn man schon einmal damit angefangen hat.

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Falle 2: Dezimalstellen-Wirrwarr

Während dies so ist, legt der Text der Norm nichtsdestoweniger nahe, die Wirkwiderstände der Leitungen in Ohm, die Blindwiderstände aber in Milliohm einzugeben. Die o. g. Zahlen sind beide Male sehr klein (ρ = 0,0225 Ω*mm²/m für Kupfer und ρ = 0,036 Ω*mm²/m für Aluminium / xL = 0,08 mΩ/m), was der Verwechslung Vorschub leistet. Besser hätte man alle Werte in Milliohm eingegeben (ρ = 22,5 mΩ*mm²/m für Kupfer und ρ = 36 mΩ*mm²/m für Aluminium / xL = 0,08 mΩ/m, wie gehabt). So wäre auch gleich aufgefallen, dass die reaktiven Leitungsbeläge sehr viel kleiner sind als die ohmschen. Insbesondere bei kleinen Leiterquerschnitten überwiegt der aktive Anteil den reaktiven um rund drei Größenordnungen – und so gab der o. g. Anfrager den Blindwiderstand der Leitung um den Faktor 1000 zu hoch ein. Dem ersten Normungskollegen, der sich der Sache annahm, unterlief der gleiche Irrtum; erst der zweite bemerkte den Fehler.

Bei größeren Leiterquerschnitten nimmt der Wirkwiderstand naturgemäß umgekehrt proportional ab; der Blind-Anteil nimmt dagegen zu, da der Mittenabstand zwischen Hin- und Rückleiter größer wird.

Die eigentliche Neuerung der Ausgabe 2006 allerdings sollte darin bestehen, dass nun mit dem Warmwert des Widerstands gerechnet wird. Dies ist ein sinnvoller Ansatz, da es darum geht, den Spannungsfall bei maximaler Last zu ermitteln, und bei maximaler Last tritt die höchste dauerhafte Leitertemperatur auf.

Außerdem nahm die alte Formel die Leitungsimpedanz aus o. g. Gründen als rein ohmsch an. Dies ist insbesondere z. B. für den Wohnungsbau eine zulässige Vereinfachung. In der neuen Formel wurde versucht, mit Rücksicht auf industrielle Anlagen die induktiven Reaktanzbeläge der großen Leitungsquerschnitte mit zu berücksichtigen.

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Falle 3: Kein Spannungsfall auf vorhandenem Neutralleiter

Wundern darf man sich über den Faktor b: Offensichtlich wird bei einphasigen Stromkreisen zwar der Hin- und Rückweg berücksichtigt, bei dreiphasigen aber verschwindet der Rückstrom »irgendwo«, obwohl doch alle drei Leiter eines Drehstromkreises genau so ständig belastet sind wie die beiden Leiter eines Wechselstromkreises. Bei der Erwärmung wird jeder Strom in jedem Leiter gerechnet; beim Spannungsfall auf einmal nicht mehr, während doch ständig, solange Strom fließt, auf jedem Leiter ein dem Strom und der Impedanz entsprechender Spannungsfall vorhanden sein muss.

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Falle 4: Spannungsfall auf nicht vorhandenem Neutralleiter

Wundern darf man sich erneut, dass stets mit der Strangspannung Außen- gegen Neutralleiter gerechnet werden soll – auch in reinen Drehstromkreisen, in denen der Neutralleiter gar nicht vorhanden ist und die vorgegebene Bezugsspannung von 230 V nirgends auftritt.

Dass diese wundersamen Erscheinungen beide in der Praxis nicht auffallen, mag auf ihr stets gemeinsames Auftreten zurück zu führen sein, da sie sich so weit gehend gegeneinander kompensieren, bis sie nicht mehr ohne weiteres in Erscheinung treten. Tatsächlich wird der Spannungsfall gemäß Falle 3 halbiert, dann aber der Absolutwert (in Volt, Kilovolt, Millivolt; was auch immer) gemäß Falle 4 auf fiktive 230 V statt auf die einzig vorhandene Spannung von 400 V bezogen. Der relative Wert in Prozent wird also um den Faktor √3 ≈ 1,73 zu groß errechnet, und der gesamte Fehler liegt nur noch bei √3/2 ≈ 0,866. Das liegt nahe bei 1; merkt niemand.

Inzwischen wurde das Thema in mehreren Normungsgremien diskutiert. Zu Anfang hieß es: »Nein, im Drehstromnetz (also zumindest bei symmetrischer Belastung) heben sich doch die Ströme auf! Im Rückleiter fließt doch nichts!« Nach dem Hinweis darauf, dass hierbei zuerst mit 2, danach mit 1/√3 ≈ 0,577 multipliziert wird, was die Normer offenbar einsahen, wurde es etwas ruhig im Raum.

Eine weitere Überlegung ist, dass ein ohmscher Spannungsfall Leitungsverluste verursacht – in beiden Leitern, hin und zurück. Es kann jedoch nicht angehen, dass, wenn ein dritter Leiter hinzu tritt, auf einmal nur noch in einem von 3 Leitern Verluste auftreten, während, was niemand bezweifelt, in allen 3 Leitern (gleiche) Ströme fließen.

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Falle 5: Produkt aus Äpfeln und Birnen

Der neuen Formel liegt die Überlegung zu Grunde, dass

sin²φ + cos²φ = 1

ist. Die in der Norm beispielhaft genannten Zahlenwerte bestätigen es – für einen Winkel von φ = 36,87° ist cosφ = 0,8 und sinφ = 0,6. Wir machen die Probe:

0,8² + 0,6² = 0,64 + 0,36 = 1

Genauer geht’s nicht. Dies führt zu den für die Wechselstromtechnik typischen und allgegenwärtigen Beziehungen

 

Dies jedoch setzt mit einer die Erwähnung erübrigenden Selbstverständlichkeit voraus, dass sich die Größen U und φ auf dasselbe Element im Netz beziehen. Welcher Phasenwinkel aber ist mit φ in dem Produkt L * λ * cosφ in der neuen Formel gemeint? Es wird allgemein angenommen, es handle sich um den Phasenwinkel der Last. Multipliziert wird der cosφ der Last aber mit der Reaktanz der Leitung. Das kann man tun, aber was soll die Erkenntnis hieraus sein? Das ist gerade so, als multipliziere man die Leerlaufspannung einer Anlage mit ihrem Kurzschlussstrom. Was dabei herauskommt, ist keineswegs etwa die Bemessungsleistung der Anlage! Leerlauf und Kurzschluss schließen sich gegenseitig aus. Sie können nicht gleichzeitig vorliegen. Die so errechnete »Kurzschlussleistung« ist lediglich eine virtuelle Größe, die zur Einschätzung dessen, was im Falle eines Falles eintreten wird, hilfreich sein kann.

Man könnte auch die Transportkapazität eines Ozeanriesen mit der Geschwindigkeit eines Flugzeugs multiplizieren und bekäme eine fabelhafte Jahrestonnage – aber von was? Die eines Luftschiffs, bei dem man zu Gunsten des Frachtraums auf 100.000 m³ Helium verzichtet hat?

Ebenso gut könnte man das Brutto-Inlandsprodukt Frankreichs durch die Einwohnerzahl Spaniens teilen, und niemandem würde etwas auffallen – wegen des korrekten Ergebnisses auch nicht, dass der Rechnung ansonsten Inhalt, Sinn und Ziel fehlt. Teilt man das Brutto-Inlandsprodukt Deutschlands durch die Einwohnerzahl von Liechtenstein, dann gehen die ersten Augenbrauen hoch.

Eine Beispielrechnung verdeutlicht, dass die Formel so, wie sie jetzt in der Norm steht, nicht richtig sein kann: Schließen wir doch einmal eine Blindstrom-Kompensationsanlage 3 * 230 V / 3 * 16 A an; macht 11 kvar. Der Leiterquerschnitt sei 2,5 mm², und die Verlustleistung der Anlage betrage 175 W (was kein berauschend niedriger Wert ist). Dann ist φ = 89° und cosφ = 0,0175. Damit ergäbe sich eine zulässige Leitungslänge von über 2 km – sehr erstaunlich schon allein deshalb, weil dann der Kurzschlussstrom am Ende der Leitung nur noch gut 6 A wäre, also sprich, der ohmsche Spannungsfall an der Leitung betrüge bei einem Strom von nur 6 A schon 230 V, entsprechend 100%. Kaum teilt jemand durch Liechtenstein, schon fällt’s auf.

Als die Angelegenheit im Unterkomitee 221.2 der DKE diskutiert wurde, wurde verschiedentlich das Argument vorgebracht, diese Formel sei eben für extreme Fälle nicht anwendbar. Dem wurde entgegen gehalten, dass eine Formel, die in Extremsituationen extrem falsche Werte liefert, in der Regelsituation nur mäßig falsche Werte liefert – aber eben keine richtigen. Dann ist es besser, mit Schätzwerten zu arbeiten als mit einer prinzipiell falschen Formel, die im fraglichen Bereich – so hofft man – durch Zufall ungefähr richtige Werte liefert. Eine Formel, in der ein Term »cosφ« vorkommt, die aber nur dann richtige Werte liefert, wenn z. B. cosφ = 0,8 ist, sollte an Stelle dieses Terms besser der Wert 0,8 enthalten sein. Eine Uhr, die steht, geht auch 2 Mal am Tag richtig, aber ehe man eine solche benutzt, ist es doch wohl besser, die Tageszeit nach dem Sonnenstand abzuschätzen. Warum soll eine Division durch die Einwohnerzahl Liechtensteins ungültig sein? Liechtenstein ist ein gültiges Land.

Um die beabsichtigte Wirkung zu erzielen, nämlich nicht nur den Phasenwinkel der Last, sondern auch den der Leitung bei der Berechnung des Spannungsfalls zu berücksichtigen, ist eine aufwändigere Methode erforderlich:

Beider Spannungsfälle zunächst jeweils in ihre Wirk- und Blindanteile zerlegen.

Die beiden Wirkanteile addieren.

Die beiden Blindanteile addieren.

Nun lässt sich aus der Summe der Wirkanteile und der Summe der Blindanteile wieder der Gesamt-Betrag und der resultierende Phasenwinkel der Reihenschaltung errechnen.

Diese Rechenschritte alle in einer einzigen Formel zusammenfassen zu wollen führt jedoch zu einer Formel von Dimensionen, wie man sie in einer Doktorarbeit der Physik oder der Volkswirtschaft erwarten würde, in einer elektrotechnischen Norm aber nicht sehen möchte.

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Falle 6: Zweideutigkeit des Spannungsfalls

Bild 1: Manchmal ist in der Wechselstromtechnik 3 + 4 = 5

Den Spannungsfall darf man schon seit geraumer Zeit nicht mehr »Spannungsabfall« nennen – wahrscheinlich, um dem alten Laborspruch »Spannungsabfälle nicht in den Papierkorb werfen – Brandgefahr!« den Garaus zu machen. Letztendlich aber ist noch nicht einmal klar, was mit »Spannungsfall« überhaupt gemeint ist. Normalerweise lautet die Frage:

Um wie viel knickt die Spannung am Ende der Leitung ein, wenn ich die Last anschließe?

Ansonsten aber, wenn von anderen Reihenschaltungen als denen von Leitung und Last die Rede ist, lautet die Frage nach dem »Spannungsfall«:

Welche Spannung kann ich zwischen Anfang und Ende eines Elementes abgreifen?

Dies ist nicht das gleiche, solange beide in Reihe liegenden Elemente nicht gerade zufällig gleiche Phasenwinkel aufweisen! Im Extremfall, wenn eine Leitung mit rein ohmschem Charakter eine reine Blindlast speist (Bild 1) oder umgekehrt, ist scheinbar 0,8 + 0,6 = 1 wie in obigem Beispiel, da sich diese Größen nun wie senkrecht zueinander stehende Vektoren bzw. die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck zueinander verhalten. Schon vor Jahrzehnten titelte ein Fachbuch zum Thema: »3 + 4 = 5?«. Da die Spannung in unserem Netz nur deswegen sinusförmig verläuft, weil sie (immer noch zum größeren Teil) aus rotierenden Maschinen stammt, hat diese Spannung derart viel mit Winkelfunktionen zu tun, und nach Pythagoras ist

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²

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Begrifflichkeit des Spannungsfalls in der Theorie
Bild 2: Eine ohmsch-induktive Last soll mit 500 V versorgt werden – welche Spannung muss am Anfang der Leitung eingespeist werden? Wie hoch ist der Spannungsfall?

Zur Veranschaulichung soll hier ein erdachtes Beispiel mit möglichst runden Zahlen gerechnet werden: Eine ohmsch-induktive Last muss mit 500 V versorgt werden, bestehend aus dem Realteil (ohmschen Anteil) von 400 V und dem Imaginärteil (reaktiven Anteil) von 300 V (φ ≈ 36,87°).

Der imaginäre Anteil der Leitungsimpedanz ist nur schwach induktiv – wenn auch nicht so schwach wie in der Realität, damit man im Bild überhaupt noch etwas sieht. Der Spannungsfall der Leitung habe bei dem geforderten Strom einen Realteil von 100 V und einen Imaginärteil von 12,5 V (φ ≈ 7,125°). Das ergibt einen Spannungsfall von etwa 100,8 V insgesamt. Auch dieser Wert wurde im Vergleich zur Lastspannung unverhältnismäßig groß gewählt, damit man im Zeigerdiagramm (Bild 2) noch etwas davon erkennt. Am Anfang der Leitung muss nun eine Spannung von ≈ 589,6 V eingespeist werden, damit an der Last noch 500 V ankommen. Der Spannungsfall beträgt damit ≈ 89,6 V. Oder doch 100,8 V?

Bild 3: Eine stark induktive Last soll mit 500 V versorgt werden – welche Spannung muss am Anfang der Leitung eingespeist werden? Wie hoch ist der Spannungsfall?

Der Unterschied ist schon auffällig, wird aber umso erheblicher, je niedriger der Leistungsfaktor der Last wird. Reduziert man den Realteil der Lastspannung auf 100 V, steigt der Imaginärteil auf ≈ 489,9 V, um die Gesamtspannung auf 500 V zu halten (φ ≈ 78,46°). Die Leitung bleibt dieselbe, aber an ihrem Anfang muss nun nur noch eine Spannung von ≈ 540,74 V eingespeist werden, macht nun nur noch einen Spannungsfall von 40,74 V zwischen ein- und ausgeschalteter Last. Derweil beträgt der Spannungsfall zwischen Anfang und Ende der Leitung nach wie vor 100,8 V.

Also was ist das denn nun eigentlich, der Spannungsfall? Es ergibt sich die Notwendigkeit zur Definition eines zweiten Begriffes. Die Differenz zwischen Leerlauf und Volllast sollte man vielleicht Spannungsschwund, Spannungsverlust oder am besten Spannungsrückgang nennen.

Überprüfung in der Praxis

Wer einmal in der Transformatoren-Industrie gearbeitet hat, hat möglicherweise noch eine große induktive Prüflast auf Lager. Das Gerät (Bild 4) nimmt bei 230 V und 50 Hz einen Strom von rund 40 A auf und weist einen Leistungsfaktor von cosφ ≈ 0,1 auf. Es lässt sich nur über einen Einschaltstrom-Begrenzer an eine Haussteckdose anschließen. Selbst dann sollte man den Versuch zeitlich in engen Grenzen halten und nicht auf die nach einigen Sekunden unausweichlich erfolgende Auslösung des Leitungsschutzschalters B 16 A warten, denn dieser ist für Leistungsfaktoren von cosφ > 0,6 bemessen!

Ein solcher Strom verursacht natürlich einen entsprechenden Spannungsfall entlang der Leitung, aber der Spannungsrückgang an der Anschlussstelle beim Einschalten hält sich, wie die zuvor dargebrachte Theorie es fordert, in engen Grenzen, wie die Verläufe der Augenblickswerte (Bild 5) ebenso wie die der Effektivwerte (Bild 6) zeigen:

Bild 5: Einschalt-Vorgang der Prüflast nach Bild 4 im Detail

Der Strom wird zunächst durch den Einschaltstrom-Begrenzer (ein Serien-Widerstand, der nach etwa 4 Perioden gebrückt wird) auf ≈ 25 A (Scheitelwert) begrenzt. Dabei bricht der Spannungsscheitel um etwa 13,5 V (Effektivwert ≈ 9 V) ein. Die Verläufe der Augenblickswerte der Leistungsaufnahme (Bild 5) und der gemittelten Leistungsaufnahme (Bild 6) zeigen, dass diese weit überwiegend positiv, die Last also vorwiegend ohmsch ist. Nach dem Brücken des Vorwiderstands geht fast so viel Leistung zurück ins Netz wie eine Viertelperiode vorher aufgenommen wurde (Bild 5). Deren Mittelwert fällt drastisch (Bild 6), obwohl die Stromstärke nun von 25 A auf ungefähr 40 A – und die Scheinleistung entsprechend – angestiegen ist. Die Überraschung ist, dass trotz des gestiegenen Stroms die Spannung ebenfalls wieder um etwa 5 V im Scheitelwert (effektiv ≈ 3 V) ansteigt. Die Ansicht in der Totale, wie sie vom Messgerät kommt (Bild 7), zeigt dies besonders deutlich. Im ersten Moment vielleicht überraschend, steht dieser Effekt jedoch, wie zuvor dargelegt, im Einklang mit der Theorie sich quadratisch addierender Spannungsfälle.

Bild 6: Einschalt-Vorgang der Prüflast nach Bild 4 in über jeweils eine Periode ermittelten Effektivwerten

Der zweite Gedanke hinter der neuen Formel in der VDE 0100-520 Anhang G war wahrscheinlich, dass z. B. Drehstrom-Asynchronmotoren einen hohen Hochlaufstrom aufweisen. Etwa mit dem 7-fachen Nennstrom muss man rechnen. Dieser Strom ist jedoch stark induktiv. Der Leistungsfaktor ist wesentlich kleiner als der auf dem Leistungsschild angegebene Leistungsfaktor im Nenn-Betriebspunkt. Dieser überhöhte Strom zieht die Spannung am Anschlusspunkt des Motors durch den weit überwiegend ohmschen Spannungsfall der Leitung viel weniger »in den Keller« als eine ohmsche Last es bei gleicher Stromstärke täte. Die Erwärmung der Leitung erreicht ebenfalls während der begrenzten Hochlaufdauer des Motors nicht unbedingt unzulässige Grenzen, auch wenn der zulässige Dauerstrom dabei überschritten wird. Diesen Effekt wollte man ausnützen und in diesen Fällen den Einsatz kleinerer Querschnitte ermöglichen, doch das ist daneben gegangen – wie so oft beim Versuch des Knauserns an Kupfer.

Bild 7: Einschalt-Vorgang der Prüflast nach Bild 4 in der Totale

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Die Frage nach den Konsequenzen
Tabelle 1: Berechnung des Spannungsfalls unter Berücksichtigung des Phasenwinkels der Leitung bei ohmscher Last

Bei Endstromkreisen, die Steckdosen speisen, ist die Methode, ob funktionierend oder nicht, ohnehin nicht anwendbar, da der Planer den Phasenwinkel der Last nicht kennt. Er muss also stets vom ungünstigsten Fall ausgehen, also sowohl Leitung als auch Last als rein ohmsch oder aber die Last mit dem gleichen Leistungsfaktor wie die real existierende Leitung ansetzen. Dies führt zu gleichen Ergebnissen für den Spannungsfall zwischen Anfang und Ende der Leitung und dem hier vorläufig so genannten Spannungsrückgang am Anschlusspunkt – und das mit einer einfachen, zur Wiedergabe in einer Norm geeigneten Formel (Tabelle 1).

Ändert man aber in dem hier aufgeführten Beispiel den Phasenwinkel der Last auf 0,8, so ist dieser Phasenwinkel schon erheblich größer als der der Leitung, was sich in einem deutlichen Unterschied zwischen dem Spannungsfall und dem hier eigentlich gesuchten Spannungsrückgang äußert (Tabelle 2).

Nichts Anderes wurde vom einen Beispielfall zum anderen geändert. In den beiden Tabellen sind mehrere Neben- und Zwischenrechnungen zu Gunsten der Übersichtlichkeit nicht dargestellt.

Tabelle 2: Berechnung des Spannungsfalls unter Berücksichtigung des Phasenwinkels der Leitung bei induktiver Last

Ratsam wäre es also, wenn diese Norm wieder auf den Prüfstand kommt, sowohl zu normgerechten Formelzeichen wie auch zu einem vereinfachten Rechenverfahren zurück zu kehren. Eine entsprechende Stellungnahme befindet sich bei der DKE in Vorbereitung. Außerdem wird ein weiterer Begriff für den »Spannungsfall an der Steckdose« gegenüber dem »Spannungsfall über der Leitung« benötigt. Es sollte im Prinzip zu der eingangs als erster wiedergegebenen Formel zurückgekehrt werden, jedoch unter Verwendung der Warmwerte für die Leitungswiderstände. Diese Neuerung sollte beibehalten werden. Der Faktor к sollte entfallen und für UV stets die tatsächlich vorhandene / verwendete Spannung eingesetzt werden. Sinnvoll ist auch der damalige, nach A aufgelöste Aufbau der Formel, denn was gesucht ist, ist der Querschnitt. Die anderen Parameter sind gegeben. Allenfalls könnte man noch das Gleichheitszeichen durch »größer oder gleich« ersetzen, da nicht jeder beliebige Leiterquerschnitt verfügbar ist, sondern der nächstgrößere gewählt werden muss.

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Des Rätsels Lösung

Der in der Norm angegebene Rechenweg ist schlecht bis gar nicht dokumentiert und daher irreführend. Dennoch ist er wenigstens in einem Punkt korrekt. Man muss nur erst dahinter kommen. So ist es logisch und richtig, bei dreiphasigen (symmetrisch belasteten) Netzen für Hin- und Rückleiter mit einem Faktor von √3 statt 2 zu rechnen. Folgende Überlegung führt dorthin:

Der Verkettungsfaktor
Bild 8: In einem Wechselstromkreis ist – in jedem Augenblick wie auch im Effektivwert – vom Spannungsfall im Hinleiter der Spannungsfall im Rückleiter abzuziehen, um zum gesamten Spannungsfall zu gelangen
Bild 8: In einem Wechselstromkreis ist – in jedem Augenblick wie auch im Effektivwert – vom Spannungsfall im Hinleiter der Spannungsfall im Rückleiter abzuziehen, um zum gesamten Spannungsfall zu gelangen

Betrachtet man in einem Wechselstromkreis die Verläufe der Spannungsfälle auf Hin- und Rückleiter, so sind diese um 180° gegeneinander versetzt, da auch die Ströme um 180° gegeneinander versetzt verlaufen. Deswegen ergibt sich in Summe (im Effektivwert) das Doppelte des Spannungsfalls einer Ader, weil dies auch für jeden Augenblickswert gilt (Bild 8).

In einem Drehstromsystem ist dies nicht so. Wie die Spannungen und (bei symmetrischer, sinusförmiger Belastung) die Ströme verlaufen natürlich auch die Spannungsfälle in den Außenleitern sinusförmig und mit einem Phasenversatz von 120° gegeneinander. Der Spannungsfall zwischen zwei Außenleitern ist damit – seien nun die Scheitelwerte oder die Effektivwerte betrachtet – √3 Mal so hoch wie der Spannungsfall in einem einzelnen Außenleiter (Bild 9). Der Neutralleiter, sofern überhaupt vorhanden, bleibt außer Betracht, da unbelastet. Dies ändert jedoch nichts daran, dass in einem mit z. B. 16 A belasteten Wechselstromkreis zwei Adern mit je 16 A, in einem entsprechenden Drehstromkreis drei Adern mit je 16 A belastet sind – und dort selbstverständlich die entsprechenden Spannungsfälle verursachen. Die von ausnahmslos allen zu diesem Thema befragten Elektrofachkräften gehörte Erklärung »Bei Drehstrom heben sich die Ströme auf« reicht nicht hin. In der Norm werden diese Hintergründe derzeit leider überhaupt nicht erläutert. Allerdings ist eine Norm auch kein Lehrbuch und will keines ersetzen. Im Rechenverfahren den relativen Spannungsfall in einem 400-V-Drehstromnetz auf eine nicht vorhandene, gleichsam fiktive Spannung von 230 V zu beziehen, um den Faktor √3 unterzubringen, führt zwar letztlich zum richtigen Ergebnis, erzeugt aber Verwirrung bei denjenigen Anwendern, die die Norm nicht nur anwenden, sondern auch verstehen möchten.

Bild 9: In einem Drehstromkreis sind die Verläufe der Spannungsfälle in den Außenleitern gegeneinander um 120° versetzt, da auch die Verläufe der Ströme gegeneinander um 120° versetzt sind
Bild 9: In einem Drehstromkreis sind die Verläufe der Spannungsfälle in den Außenleitern gegeneinander um 120° versetzt, da auch die Verläufe der Ströme gegeneinander um 120° versetzt sind

Sind die Ströme nicht symmetrisch verteilt, so tritt zwar eine Belastung des N-Leiters auf, doch ist diese von mindestens einem Außenleiter wieder abzuziehen, der dann nicht voll ausgelastet sein kann – ansonsten könnte die Last nicht unsymmetrisch sein, ohne die Leitung zu überlasten. Auch spräche man hierbei besser nicht von einem Drehstromsystem, sondern von einem Dreiphasen-Wechselstromnetz.

Nur wenn die Verläufe der Ströme deutlich von der Sinusform abweichen, kann es vorkommen, dass drei nach Kurvenform, Effektivwert und Phasenlage gleiche Außenleiterströme dennoch einen Neutralleiterstrom hervorrufen. Dieser kann im Extremfall sogar größer sein als die Ströme in jedem Außenleiter. In diesen Fällen ist die Belastung entsprechend zu reduzieren.

Ein exotischer, theoretisch denkbarer Ausnahmefall wäre ein solches Dreiphasen-Wechselstromnetz, das mit drei gleich großen Strömen, aber auf einem Außenleiter mit einer um 60° kapazitiven und auf dem anderen mit einer um 60° induktiven (und auf dem dritten Außenleiter einer ohmschen) Last belastet wäre. Hier wären alle vier aktiven Leiter mit dem Bemessungsstrom belastet – der nach den üblicherweise angewandten Auswahlkriterien demjenigen für drei belastete Adern entspräche. Bei vier belasteten Adern müsste (nach VDE 0100-520:2012-10, Beiblatt 3) anders gerechnet werden – und dieser Fall läge hier vor, wenn die Außenleiterspannungen zwar um 120°, die Außenleiterströme jedoch um 60° gegeneinander versetzt verliefen. Für besondere, extreme oder gar exotische Einzelfälle auch noch Grenzwerte und Rechenverfahren für den Spannungsfall vorzuhalten ginge jedoch deutlich über den Rahmen dessen hinaus, was von einer Norm erwartet werden sollte.

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Die Abhängigkeit vom Phasenwinkel

Die nächste der früher behandelten Unklarheiten betrifft die Abhängigkeit des Spannungsfalls vom Phasenwinkel, angefangen mit der Frage, welcher Winkel denn nun gemeint sei, denn auch die Impedanz der Leitung hat einen induktiven Anteil, der zudem sehr stark vom Leiterquerschnitt abhängt. Um der Sache näher zu kommen, wurden eine kleine, eine mittlere und eine sehr große Last mit den jeweils erforderlichen Leiterquerschnitten ausgewählt und für einphasige und dreiphasige Belastungen die jeweiligen Spannungsfälle zwei Mal berechnet, ein Mal mit der Formel nach VDE 0100-520:2013-06, Anhang G und ein Mal nach dem vollständigen Verfahren (nicht alle Belastungsfälle hier aufgeführt, jedoch beim Kupferinstitut verfügbar). Hält man den Strom konstant und verändert nur den Phasenwinkel der Last, so ergeben sich bei der kleinen Last noch keine auffälligen Abweichungen der Verläufe (Bild 10). Dabei sind die unterschiedlichen Scheitelhöhen der Kurven noch kein »Aufreger«! Worauf es hier ankommt, sind die prinzipiellen Verläufe, und die sind hier bei beiden Rechenverfahren noch praktisch deckungsgleich. Alles andere ließe sich durch entsprechende Faktoren spielend leicht regeln – was hier auch die Ursache für diese Abweichung darstellt: Das exakte Verfahren rechnet mit der »exakten« Spannung von 400 V; nach VDE jedoch wird der relative Spannungsfall immer auf 230 V bezogen. In absoluten Werten ist er dann natürlich um den Faktor √3 unterschiedlich. Des Weiteren liegt es an den gewählten Kriterien zur Festlegung der Leitungslänge (denn diese ist hier fix; die unabhängige Variable ist der Phasenwinkel, und die hiervon abhängige Variable ist der absolute Spannungsfall [V]):

Bild 10: Spannungsfall durch eine dreiphasige Last 400 V, 12 A; Leitung 1,5 mm² stark, Länge 94 m (exaktes Verfahren) bzw. 77 m (Formel nach VDE)
Bild 10: Spannungsfall durch eine dreiphasige Last 400 V, 12 A; Leitung 1,5 mm² stark, Länge 94 m (exaktes Verfahren) bzw. 77 m (Formel nach VDE)
Bild 11: Spannungsfall durch eine einphasige Last 230 V, 128 A; Leitung 50 mm² stark, Länge 113 m (exaktes Verfahren) bzw. 117 m (Formel nach VDE)
Bild 11: Spannungsfall durch eine einphasige Last 230 V, 128 A; Leitung 50 mm² stark, Länge 113 m (exaktes Verfahren) bzw. 117 m (Formel nach VDE)
  • Nach der VDE-Formel wurde die Leitungslänge so bemessen, dass der Spannungsfall, wie dort angegeben, bei cosφLast = 0,8 genau dem jeweiligen Grenzwert entspricht (unabhängig davon, was im restlichen Bereich – bei anderen Leistungsfaktoren – geschieht). Als Grenzwert wurde hier 6% gewählt. Je nach Art der Anlage und der Stromkreise werden in den Normen Werte von 3% bis 8% genannt.
  • Beim exakten Berechnungsverfahren wurde die Leitungslänge so bemessen, dass der Spannungsfall niemals (bei keinem Phasenwinkel) 6% (der tatsächlichen Bemessungsspannung) überschreitet.
Bild 12: Spannungsfall durch eine dreiphasige Last 400 V, 837 A; Leitung 630 mm² stark, Länge 139 m (exaktes Verfahren) bzw. 199 m (Formel nach VDE)
Bild 12: Spannungsfall durch eine dreiphasige Last 400 V, 837 A; Leitung 630 mm² stark, Länge 139 m (exaktes Verfahren) bzw. 199 m (Formel nach VDE)
Bild 13: Zulässige Leitungslänge für 6% Spannungsfall an dreiphasiger Last 400 V, 12 A; Leitung 1,5 mm² stark, nach exaktem Verfahren und mit Formel aus VDE 0100-520, Anhang G
Bild 13: Zulässige Leitungslänge für 6% Spannungsfall an dreiphasiger Last 400 V, 12 A; Leitung 1,5 mm² stark, nach exaktem Verfahren und mit Formel aus VDE 0100-520, Anhang G

Tatsächlich sieht man im zweiten Fall, der mittelgroßen (einphasigen) Last (Bild 11), dass beide Rechengänge zu etwa gleichen Maximalwerten führen – was aber, wie gesagt, bei der Beurteilung dieses Ergebnisses unwichtig ist. Wichtig ist vielmehr, dass die Scheitel an völlig unterschiedlichen Stellen liegen! Es kann – Korrekturfaktor hin oder her – bei diesen beiden Verläufen immer nur einen einzigen Phasenwinkel geben, bei dem beide Verfahren zum gleichen Ergebnis führen; alle anderen Winkel haben zwangsläufig eklatante Abweichungen zur Folge! Es kann aber nur ein Ergebnis richtig sein. Noch krasser wird diese Diskrepanz bei der sehr starken Last (Bild 12).

Bild 14: Zulässige Leitungslänge für 6% Spannungsfall an dreiphasiger Last 400 V, 128 A; Leitung 50 mm² stark, nach exaktem Verfahren und mit Formel aus VDE 0100-520, Anhang G
Bild 14: Zulässige Leitungslänge für 6% Spannungsfall an dreiphasiger Last 400 V, 128 A; Leitung 50 mm² stark, nach exaktem Verfahren und mit Formel aus VDE 0100-520, Anhang G

Zur Veranschaulichung wurde die Darstellung der Ergebnisse über dem Phasenwinkel der Last noch einmal wiederholt; nun jedoch für einen fixen Spannungsfall, aber variable Leitungslänge, denn meist ist die maximal zulässige Leitungslänge die gesuchte Größe. Für die kleine Last (Bild 13) fällt dabei auf: Im Bereich üblicher Phasenwinkel decken sich die Kurven mehr oder weniger. Je weiter die Winkel aber in den kapazitiven oder den induktiven Bereich rücken, desto mehr unterscheiden sich die Ergebnisse.

Bild 15: Zulässige Leitungslänge für 6% Spannungsfall an dreiphasiger Last 400 V, 837 A; Leitung 630 mm² stark, nach exaktem Verfahren und mit Formel aus VDE 0100-520, Anhang G
Bild 15: Zulässige Leitungslänge für 6% Spannungsfall an dreiphasiger Last 400 V, 837 A; Leitung 630 mm² stark, nach exaktem Verfahren und mit Formel aus VDE 0100-520, Anhang G

Im zweiten Fall (Bild 14) äußert sich die Diskrepanz ganz ähnlich wie zuvor (Bild 10). Im dritten Fall, der sehr großen Last, tritt mit der VDE-Formel bei φ ≈ 15° induktiv ein Resonanzpunkt auf. Die Leitung könnte dort demnach gut 13 km lang sein, ohne einen Spannungsfall von 6% zu überschreiten! Dass dies nicht realistisch ist, ist offensichtlich. Logisch ist dagegen, dass die »echte« Berechnung im Bereich kapazitiver Lasten (an einem induktiven Kabel) deutlich längere Leitungswege zulässt als für ohmsche und induktive Lasten.

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Folgerung

Somit bleibt festzuhalten, dass die derzeit in der VDE 0100-520, Anhang G, angegebene Formel für bestimmte Bereiche mit verhältnismäßig kleinen Leiterquerschnitten und verhältnismäßig großen Leistungsfaktoren (z. B. im Wohnungsbau) hinreichend genaue Ergebnisse liefert und hier weiterhin angewendet werden könnte. Für Starkstrom-Anlagen mit großen Leiterquerschnitten und teilweise extremen Leistungsfaktoren kann dies jedoch weit in die Irre führen! Selbstverständlich kann beim Anschluss einer kapazitiven Last – etwa einer Blindstrom-Kompensationsanlage – an eine induktive Leitung der Spannungs-»Fall« auch negativ werden, also am Ende der Leitung eine höhere Spannung auftreten als am Anfang. Die Anwendung der komplexen Rechnung wird dann unumgänglich.

Manchmal hilft ein Rückblick

Ein altgedienter Normungskollege steuerte dann in einer Sitzung der DKE den entscheidenden Hinweis auf den entscheidenden Hinweis bei. In dem schon älteren Beiblatt 5 zur VDE 0100 (Bild 16) findet man nämlich den gedanklichen Hintergrund zu dem heutigen Vorgehen (worauf auch im Beiblatt 2 zum Teil 520 hingewiesen wird4): Dort gibt es noch die Festlegung, der Phasenwinkel der Last sei als gleich dem Phasenwinkel der Leitung zu setzen. Damit ist klar, warum nur mit »cosφ« gerechnet wird, ohne zu unterscheiden, ob der Phasenwinkel φ der Last oder der Leitung gemeint ist. Das hätte man gleich wissen sollen – und können. Wie ausgeführt, liegt man hiermit stets auf der sicheren Seite, erhält also im Zweifelsfall immer zu hohe und niemals zu niedrige Werte für den Spannungsfall bzw. allenfalls zu kurze zulässige Leitungslängen. Auch findet sich der Hinweis darauf, dass Kabel und Leitungen einen (stark vom Querschnitt abhängigen) Induktivitätsbelag aufweisen, sowie Beispielwerte für Kabel-Impedanzen kleiner, mittlerer und großer Querschnitte. »Anmeckern« ließe sich allenfalls, dass dort der Impedanzwinkel als »cosφL« bezeichnet wird. »cosφ« ist jedoch der Leistungsfaktor; der Winkel heißt φ.

Bild 16: Im Beiblatt 5 zu VDE 0100 von 1995 steht es noch: Die Phasenwinkel von Leitung und Last sind gleichzusetzen, und für die Reaktanzbeläge einiger Kabel werden beispielhaft Werte angegeben
Bild 16: Im Beiblatt 5 zu VDE 0100 von 1995 steht es noch: Die Phasenwinkel von Leitung und Last sind gleichzusetzen, und für die Reaktanzbeläge einiger Kabel werden beispielhaft Werte angegeben

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Wie geht es weiter?

Eben deswegen wurde von deutscher Seite notiert, in der IEC 60364-5-52 von 2009, die die Vorlage zur VDE 0100-520 bildet und jetzt wieder zur Kommentierung offen steht, diese Erläuterungen aus dem alten Beiblatt 5 (Bild 16) auch im Anhang G unter der Formel einzufügen. Außerdem soll – neben der Bereinigung der formalen Fehler – die Gültigkeit der vereinfachten Formel durch eine klare, eindeutige Angabe des Anwendungsbereichs eingegrenzt werden. Notiert wurde vorerst die Bedingung »cosφ ≥ 0,75 induktiv«. Damit wäre diese Klippe umschifft.

Zudem sind die Tage des Beiblatts 5 gezählt. Eine neue, deutlich ausführlichere Version ist bereits erarbeitet und wird in Kürze veröffentlicht werden. Darin werden dann drei verschiedene Verfahren für kleine, mittlere und große Anlagen enthalten sein.

Spannungsfall bei Kleinspannung

Als neues Thema wird daneben jetzt auch der Spannungsfall in Kleinspannungs-Beleuchtungsanlagen diskutiert. Dort darf der Spannungsfall zwischen dem Transformator und der in der größten Entfernung installierten Leuchte nach DIN VDE 0100‐715 bislang 5% der Nennspannung der Kleinspannungsanlage nicht überschreiten. Das ist natürlich recht wenig; z. B. bei einer 12-V-Anlage nur 0,6 V. Gedacht war dabei selbstverständlich an Kleinspannungs-Halogenglühlampen (die bei 95% der Nennspannung schon nur noch 85% der Helligkeit erbringen). Bei dem Anwendungsbereich, um den es hier auch oder vorwiegend geht, handelt es sich um Elektroinstallationen in Möbeln, also konkret Vitrinen-Beleuchtung und dergleichen. Diese werden heute selbstverständlich durchgehend in LED-Technik ausgeführt (die sich gerade hierfür besonders anbietet). Die elektronischen Vorschaltgeräte (hier oft »LED-Treiber« genannt) stellen jedoch in der Regel gar nicht einmal eine konstante Spannung, sondern einen konstanten Strom zur Verfügung. Es wurde daher vorgeschlagen, einen Zusatz-Passus aufzunehmen, der lauten soll: »Ein höherer Spannungsfall ist zulässig, wenn allen Leuchtmitteln der Beleuchtungsanlage für den Spannungsbereich geeignete Betriebsgeräte vorgeschaltet sind.«

Dies würde aber wieder der Energieverschwendung Tür und Tor öffnen, denn gerade in Gleichstromkreisen, um die es sich zumeist handelt, ist ausnahmslos jeder Spannungsfall ausnahmslos ohmscher Natur, steht also für Verlust pur. Andererseits sind die zur Anwendung kommenden Leistungen zumeist so klein, dass es geradezu lächerlich ist, von den Leitungsverlusten überhaupt zu reden, und die Leiterquerschnitte sind allein schon aus mechanischen Gründen oder wegen der begrenzten Verfügbarkeit sehr kleiner Querschnitte aus elektrotechnischer Sicht stark überdimensioniert, so dass sich eine normative Regulierung erübrigen könnte.

Ein Vorschlag zur Modifizierung ging folglich dahin, die Bestimmungen zum Spannungsfall von der Nennleistung des betreffenden Stromkreises abhängig zu machen. Dies allerdings könnte die Sache wiederum zu kompliziert werden lassen.

Man darf gespannt sein, was die Diskussion ergibt.