Grundlagen: Felder

»Eigentlich gibt es gar keine Elektromotoren; es gibt nur Magnetmotoren«, erklärte der Professor vor langer Zeit an der FH Dortmund, und er wollte damit verdeutlichen, dass sich zur Umwandlung elektrischer in mechanische Energie zwei Prinzipien nutzen lassen:

  • Elektrische Spannungen erzeugen elektrische Felder,
  • elektrische Ströme erzeugen magnetische Felder.

Beide Felder haben zum Teil gleiche, zum Teil komplementäre Eigenschaften, ergänzen einander also in analoger Weise. So erzeugen beide Kräfte. Elektrisch geladene Teilchen werden im elektrischen Feld vom gleichnamig geladenen Pol abgestoßen und vom ungleichnamigen angezogen. Neutrale werden von beiden Polen angezogen, weil beide sich so zu sagen eine Aufladung »erhoffen«, indem sich die Ladung auf mehr Masse, Volumen oder Oberfläche verteilt. Ein positiv geladener Körper aus leitfähigem Material würde so z. B. zum Minuspol hin gezogen, entlüde sich dort und würde negativ wieder aufgeladen. Dann aber würde er vom Minuspol abgestoßen und zum Pluspol hin pendeln und so fort. Das wäre wirklich ein »Elektro-«Motor im Sinne der reinen Physik. Die Kräfte aber sind sehr gering. Spannungen von vielen Megavolt wären zu ihrer technischen Verwertbarkeit aufzubringen. Ein elektrostatisch mit 5 kV aufgeladener Pullover wird zwar so zu sagen beim Ausziehen anziehend, doch reichen die Kräfte gerade einmal aus, um uns die Haare zu Berge stehen zu lassen oder ein paar Staubflocken festzuhalten. Die Entladungen sind trotz der hohen Spannungen ungefährlich. Dies zeigt schon, wie wenig Energie trotz der hohen Spannung im Pullover gespeichert ist.

Daher nutzt man zur Erzeugung mechanischer Energie weniger die elektrischen Kräfte der Spannung, sondern vielmehr die magnetischen Kräfte des Stroms. Nur dort liegt das Potenzial für nennenswerte Übertragungsleistungen. Analog wird hier ein Nordpol vom Nordpol abgestoßen und vom Südpol angezogen und umgekehrt. Ein nicht magnetisches, aber »magnetisch leitfähiges« (ferromagnetisches) Teil wird von beiden Polen angezogen.

Beide Felder enthalten Energie, wenn auch nicht gerade berauschend viel, und wird ein elektrisches Feld über einen elektrisch leitfähigen Pfad entladen, so entsteht hierdurch ein Stromfluss. Dieser baut ein magnetisches Feld auf. Die Veränderung der magnetischen Feldstärke erzeugt gemäß dem von Michael Faraday entdeckten und erstmalig beschriebenen Prinzip der elektromagnetischen Induktion wiederum eine Spannung in dem Leiter, die der anliegenden Spannung (aus dem elektrischen Feld) entgegen steht und so die Anstiegs-Geschwindigkeit des Stroms hemmt (die so genannte Selbst-Induktion). Kehrt sich die Änderungsrichtung des Magnetfeldes um, so entsteht wiederum eine induzierte Spannung – nun aber mit der umgekehrten Polarität, in Richtung des Stroms, was also dessen Abklingen verzögert.

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Induktivitäten und magnetische Felder

Bild 1: Wenn ein Strom von 1 A durch einen geraden Leiter fließt, bildet sich im Abstand von etwa 159 mm ein magnetisches Feld mit einer Feldlinienlänge von 1 m und folglich einer Feldstärke von 1 A/m

Das magnetische Feld lässt sich durch seine Feldstärke H (Bild 1) oder die magnetische Flussdichte B charakterisieren (s. u. die Gegenüberstellung der Formeln und Größen im nächsten Abschnitt). Dabei enthält die Flussdichte den dimensionslosen Faktor µr, der angibt, um welchen Faktor der im Feld befindliche Stoff für magnetische Felder durchlässiger (permeabler) ist als der leere Raum (bzw. Luft, die sich hier praktisch neutral verhält). Die gewöhnlich in Drosselspulen und Transformatoren verwendeten Magnetwerkstoffe weisen Werte um etwa 300 auf. Spezialwerkstoffe (»Mumetall«) bringen es auch auf 30.000. Wird die Spule mit einem bestimmten Strom beaufschlagt, so ist sie von einem bestimmten Fluss Φ erfüllt, hervorgerufen von der Feldstärke H. Schließt man die Spule kurz, so bliebe der Strom bestehen; wäre da nur nicht der ohmsche Widerstand des Drahtes. An supraleitenden Spulen lässt sich dies tatsächlich beobachten: Setzt man diese unter Strom, so bleibt dieser Strom im Prinzip ewig erhalten, denn das Magnetfeld, das er erzeugt, stellt gleichsam die »Trägheit« des elektrischen Stroms dar. Führt man nun aber ein Medium in die (kurzgeschlossene, supraleitende) Spule ein, das sich von dem magnetischen Feld erheblich leichter durchdringen lässt als Luft, so bleibt der magnetische Fluss dieser Spule nichtsdestoweniger erhalten, aber dazu ist nun eine weitaus geringere Feldstärke erforderlich. Der Strom wird dem entsprechend so weit fallen, dass die in dem Magnetfeld gespeicherte Energie gleich bleibt. Man kann sich das etwa so vorstellen, als würde ein Fahrzeug während der Fahrt mit Eisen beladen, wobei das Eisen aber die Geschwindigkeit des Fahrzeugs während des Belade-Vorgangs noch nicht hat. Dies fiele zwar etwas schwer, doch eine bereits mit Strom erregte Spule im »laufenden Betrieb« nachträglich noch mit einem Eisenkern auszustatten eignet sich auch besser für ein Gedanken-Experiment als für die praktische Durchführung. Theoretisch würde unser Fahrzeug durch das Beladen und die damit zwangsläufig verbundene Beschleunigung der aufgenommenen Fracht gerade so viel langsamer, dass seine gesamte kinetische Energie einschließlich Fracht gleich bliebe. Der Strom und damit die Feldstärke in der Spule fallen um den Faktor µr. Die Flussdichte hingegen ist diejenige Größe, die von der »Beladung« unbeeinflusst bleibt. Die Induktivität der Spule hat sich hiermit um den Faktor µr erhöht, denn Induktivität ist die Spannungs-Zeit-Fläche pro Strom, die zum »Herunterbremsen« des Spulenstroms erforderlich wäre. Die Spule ließe sich nun wieder auf den ursprünglichen Strom »aufladen«. So würde sie auf eine um den Faktor µr höhere Spannungs-Zeit-Fläche aufgeladen als vorher. Die übliche Vorstellung hiervon ist, dass das magnetische Feld des Stroms die normalerweise ungeordnet im Magnetwerkstoff bereits vorhandenen »Elementarmagnete« gleichmäßig ausrichtet und so die recht beträchtliche Verstärkung des magnetischen Flusses bewirkt.

Bild 2: Eine elektrische Feldstärke von 1 V/m ist ziemlich wenig

Die Induktivität einer Drahtspule ist proportional zum Quadrat der Windungszahl, zum mittleren Querschnitt der Spule und umgekehrt proportional zur Länge der Spule (Richtwert für lang gestreckte Spulen). Der Energie-Inhalt ist proportional zur Induktivität und zum Quadrat des Stroms. Halbiert man den Drahtquerschnitt, so lässt sich bei gleichem Bauvolumen die Windungszahl verdoppeln, aber damit vervierfacht sich der ohmsche Widerstand. Der Strom muss auf die Hälfte reduziert werden, um die Verlustleistung gleich zu halten. So vervierfacht sich zwar die Induktivität, aber die in einer bestimmten Baugröße und Bauform speicherbare Energie bleibt gleich, wenn die ohmsche Verlustleistung im Draht nicht zunehmen darf. Nicht nur die Induktivität, sondern auch der Betriebsstrom sind also begrenzende, bestimmte Mindestmaße bedingende Faktoren bei der Auslegung von Drosselspulen. Ferner ist auch die Betriebsfrequenz ein gewisser Treiber bei Masse und Volumen, da die magnetischen Verluste im Kern, wo vorhanden, mit der Frequenz steigen und ggf. ihren Teil zur Erwärmung einer Drossel beitragen, obwohl andererseits in der Praxis die Baugröße mit steigender Frequenz abnimmt, da dann geringere Induktionswerte den gleichen Zweck erfüllen.

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Kapazitäten und elektrische Felder

Das elektrische Feld lässt sich durch seine Feldstärke E oder die Verschiebungsdichte D beschreiben (s. u. die Gegenüberstellung der Formeln und Größen). Dabei enthält die Verschiebungsdichte den dimensionslosen Faktor ε0, der angibt, um welchen Faktor der im Feld befindliche Stoff (Dielektrikum) für elektrische Felder durchlässiger (permittiver) ist als der leere Raum (bzw. Luft, die sich hier praktisch neutral verhält). Die gewöhnlich in Kondensatoren verwendeten Dielektrika weisen Werte von etwa 2 bis 10 auf. Dies bedeutet: Lädt man den Kondensator mit einer bestimmten Spannung auf, so ist er mit einer bestimmten Ladung Q geladen, denn die Spannung zwischen den Platten saugt einen kleinen Teil der freien Elektronen vom Pluspol ab, die sich dann auf der negativen Platte »drängeln«.

Viel ist das nicht; Elektronen sind kaum »kompressibel«, eher Flüssigkeiten als den sehr druckelastischen Gasen vergleichbar. Wenn man einen Kondensator von 1 µF Kapazität mit einer Spannung von 1000 V auflädt, so beträgt seine Ladung 10-3 As oder 1 mC, was genau 6,24*1015 Elektronen entspricht. Zum Vergleich: Ein solcher Kondensator (etwa vom Kaliber des in Bild 3 gezeigten) wird insgesamt irgendetwas in der Größenordnung von 1026 Elektronen (davon 1024 bis 1025 freie) enthalten. Die Elektronendichte in einem Gegenstand zu verdoppeln würde also Spannungen von über 1010 * 1000 V = 1013 V erfordern, ebenso wie es Milliarden von bar erfordern würde, z. B. Wasser auf die Hälfte seines Volumens (die doppelte Dichte) zu komprimieren.

Bild 3: Diese beiden Elemente (L = 750 mH; C = 13,5 µF) ergeben einen Schwingkreis mit einer Resonanzfrequenz von 50 Hz

Trennt man den Kondensator wieder von der Spannungsquelle, so bleibt die Spannung bestehen, da kein Weg zum Ladungsausgleich zur Verfügung steht. »Verschiebt« man nun aber ein Medium, das sich von dem elektrischen Feld leichter durchdringen lässt als Luft, in den Zwischenraum, so bleibt zwar die Ladung des Kondensators erhalten, aber die Spannung und damit die Feldstärke fallen um den Faktor εr. Die Verschiebungsdichte hingegen ist diejenige Größe, die von der »Verschiebung« unbeeinflusst bleibt; daher der Name. Die Kapazität des Kondensators hat sich hiermit um den Faktor εr erhöht, denn Kapazität ist Ladung pro Spannung. Der Kondensator ließe sich nun wieder auf die ursprüngliche Spannung aufladen. So würde ihm eine entsprechend höhere Ladung zugeführt als vorher. Man kann sich das etwa so vorstellen: Die Elektronen in dem Dielektrikum, einem Isolierstoff, wo sich definitionsgemäß keine Elektronen frei bewegen können, lassen sich dennoch im Rahmen des Moleküls, zu dem sie gehören, zu einer Seite hin ziehen. Es handelt sich oftmals um organische Stoffe aus komplexen Molekülen mit – aus Sicht eines Elektrons – erheblicher räumlicher Ausdehnung. Die Elektronen werden so zu einer Seite hin gezogen, und damit wird eine in vielen Fällen sogar wesentlich größere Verschiebung von Ladung, also eine höhere Verschiebungsdichte, erreicht als wenn sich nichts oder nur Luft zwischen den Platten befindet.

In einem praktischen Kondensator für Niederfrequenz-Anwendungen, etwa zur Blindstrom-Kompensation (Bild 3), beträgt der Abstand zwischen den Platten nur wenige Mikrometer und muss also Feldstärken von einigen 10 kV/mm Stand halten (Bild 2). Die Plattenoberfläche aber geht in die Quadratmeter. Die Dicke der Isolierschicht dazwischen (Dielektrikum) wird, so gut es technisch geht, konstant gehalten. So darf man von einem homogenen Feld ausgehen. Die Kapazität ist umgekehrt proportional zum Plattenabstand. Damit lässt sie sich »ganz einfach« verdoppeln, indem man »nur« die Dicke des Dielektrikums halbiert. Muss man hierzu die Betriebsspannung halbieren, damit das Dielektrikum nicht durchschlägt, dann halbiert sich aber auch der Energie-Inhalt des Kondensators, denn der hängt vom Quadrat der Spannung ab, fällt also durch die Halbierung der Spannung auf ein Viertel, wovon durch die Halbierung des Plattenabstands nur die Hälfte ausgeglichen wird. Nicht nur die Kapazität, sondern auch die Betriebsspannung sind also begrenzende Faktoren bei der Auslegung von Kondensatoren, die bestimmte Mindestmaße bedingen. Ferner ist auch die Betriebsfrequenz ein gewisser Treiber bei Masse und Volumen, da die dielektrischen Verluste im Dielektrikum mit der Frequenz steigen und ggf. den größten Teil der Erwärmung eines Kondensators bedingen. Die Wärmeverluste sind aber allgemein sehr gering. Ein Hersteller sagt, bei 50 Hz habe der vorgeschriebene Entlade-Widerstand den größten Anteil hieran.

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Komplementäre Formeln zur Charakterisierung elektrischer und magnetischer Felder

Bild 4: Die in einem idealen Schwingkreis enthaltene schwingende Energie ist über der Zeit konstant

Die folgende Übersicht stellt die wichtigsten Kenngrößen von Induktivitäten und Kapazitäten einander gegenüber. So wird das komplementäre Verhalten deutlich.

Magnetische Felder: Elektrische Felder:

Induktivitäten: Kapazitäten:

Dabei sind:

H magnetische Feldstärke,

Φ Fluss des magnetischen Feldes,

B Flussdichte des magnetischen Feldes,

µ0 = 1,2566 Vs/Am magnetische Feldkonstante (Permeabilität des leeren Raums),

µr relative magnetische Permeabilität (Materialkonstante),

L Induktivität,

E elektrische Feldstärke,

Q Ladung des Kondensators,

D Verschiebungsdichte des elektrischen Feldes,

ε0 = 8,854 * 1012 As/Vm Permittivität des leeren Raums (Dielektrizitätskonstante),

εr relative elektrische Permittivität (Materialkonstante),

C Kapazität,

l Länge der Feldlinie (s. Bild 1, Bild 2),

A Plattenfläche des Kondensators / Querschnittsfläche der Spule (bezogen auf eine einzelne Windung, also ist der Strom mit der Windungszahl zu multiplizieren, da er in jeder Windung erneut »wirkt«),

t Zeit,

i Strom (Augenblickswert),

u Spannung (Augenblickswert),

X Reaktanz (Blindwiderstand).

Die in einem idealen (verlustfreien) Schwingkreis zwischen L und C hin und her schwingende Energie ist also konstant (Bild 4):

Denn unserem idealisierten System wird weder Energie zugeführt noch entnommen. Der Strom ist derselbe, der beide Teile durchfließt. Die Spannung an der Induktivität eilt ihm um 90° vor und die Spannung an der Kapazität eilt ihm um 90° nach. Beide verlaufen sinusförmig – und wer würde sich nicht erinnern:

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Zusammenwirken von Kapazitäten und Induktivitäten

Schaltet man eine Induktivität und eine Kapazität zu einem Schwingkreis zusammen, so kommt deren zueinander komplementäres Verhalten zum Tragen: Hat sich das elektrische Feld entladen, so hat der Strom sein Maximum zwar erreicht, kommt aber nicht schlagartig zum Erliegen. Vielmehr lädt er im Abklingen die Kapazität – jetzt mit umgekehrter Polarität – wieder auf und so fort. So wie das eine Feld abklingt, wird das andere aufgebaut, und dann wieder das Ganze rückwärts, wobei wechselweise einmal das magnetische und einmal das elektrische Feld jeweils immer dann seinen Nulldurchgang hat und die Polarität wechselt, wenn das andere Feld den Scheitelwert seiner Feldstärke durchfährt. Die Resonanzfrequenz f0 des Schwingkreises, mit der dies abläuft, berechnet sich zu

Die Resonanzfrequenz stellt sich nun stets so ein, dass die Energie in der Spule beim Stromscheitel gleich der Energie im Kondensator beim Spannungsscheitel ist. Während man in obiger Formel getrost der Induktivität eine Null anfügen und der Kapazität eine wegnehmen kann und dennoch wieder bei der gleichen Resonanzfrequenz landet, bedeutet dies jedoch, dass sich in diesem veränderten Schwingkreis außer der Resonanzfrequenz so ziemlich alles ändert: Je nach Verhältnis von L zu C ist der im Stromkreis schwingende Strom größer bei kleinerer Spannung oder umgekehrt. Doch dies nur am Rande.

Die Induktivität im Stromkreis kann man sich als die »Trägheit« des Stroms vorstellen, während die Kapazität der Spannung einer Feder oder sonstiger elastisch gespannter mechanischer Teile im System (»parasitäre Kapazitäten« etwa von Kabeln und Leitungen) entspricht.

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Besonderheiten und Unterschiede

Obwohl sich die magnetische Kraft, wie ausgeführt, zur technischen Nutzung eher anbietet als die elektrische, ist der spezifische Energie-Inhalt in einer Induktivität in der Praxis noch deutlich geringer als in einer Kapazität vergleichbaren Bauvolumens: Die in Bild 3 gezeigte Drossel ist für einen Bemessungsstrom von 0,67 A ausgewiesen. Um diesen zum Fließen zu bringen, wäre bei 50 Hz eine Spannung von etwa 195 V anzulegen. Der Kondensator hingegen ist bei 50 Hz für 220 V ausgewiesen. Daher liegt seine Energie-Kapazität und somit seine Bemessungs-Blindleistung 27% höher, obwohl die Abmessungen der beiden Bauteile etwa gleich sind. Zudem weist die in erster Linie aus Eisen und in zweiter Linie aus Kupfer aufgebaute Drosselspule mehr als die doppelte Masse des Kondensators auf, der vorwiegend aus Aluminium besteht.

Seltsamerweise hat es sich eingebürgert, in der Diskussion z. B. um die Auswirkungen der Felder auf Organismen, stets die magnetische Flussdichte anzugeben, während bei elektrischen Feldern immer von der Feldstärke die Rede ist.

Zu berücksichtigen ist auch der Sättigungseffekt, der die Magnetisierbarkeit der Magnetwerkstoffe begrenzt: Wenn alle Elementarmagnete sich nach der Orientierung des Magnetfeldes ausgerichtet haben, was je nach Werkstoff allmählich oder ziemlich abrupt spätestens bei einer Flussdichte von etwa 1,8 T, bei HF-Magnetwerkstoffen (Ferriten) schon bei 0,2 T … 0,4 T der Fall ist, ist eine stärkere Magnetisierbarkeit nicht mehr gegeben. Eine weitere Vergrößerung der Feldstärke wirkt sich dann mehr oder weniger so aus, als sei kein Eisen vorhanden (µr ≈ 1).

Ein solcher Sättigungseffekt ist bei den Dielektrika des elektrischen Feldes nicht bekannt. Statt dessen ist hier die Isolierfähigkeit eine kritische Größe: Wie bei allen elektrisch nicht leitenden Stoffen werden diese oberhalb einer bestimmten Feldstärke-Beanspruchung eben doch elektrisch leitend, und zwar schlagartig. Man muss sich das so vorstellen, dass die zu stark werdende elektrische Kraft die äußeren Elektronen aus den Atomen des Isolierstoffs heraus reißt. Dadurch wird dieser ionisiert und chemisch zersetzt. Da es sich meist um organische Stoffe handelt, entsteht dabei u. a. Ruß, also Kohlenstoff, und der ist elektrisch leitfähig und setzt einen Lawinen-Effekt in Gang. Der Durchschlag ist perfekt.

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Vom elektrischen und magnetischen zum elektromagnetischen Feld

Bei niedrigen Frequenzen lassen sich das magnetische und das elektrische Wechselfeld, wie bei Gleichfeldern, völlig getrennt als zwei verschiedene Felder betrachten. Nicht nur zur Erzeugung mechanischer Energie, sondern auch zur Übertragung elektrischer Energie kommt in der Praxis nur das magnetische Feld in Betracht. Bei Hochfrequenz verschmelzen die Felder allmählich zu einem elektromagnetischen Wechselfeld. Wie man sich dies vorzustellen hat, versucht Bild 5 zu verdeutlichen.

Bild 5: Wie aus einem elektrischen und einem magnetischen Wechselfeld bei hohen Frequenzen ein elektromagnetisches Wechselfeld wird

Davon unabhängig wird natürlich die Resonanzfrequenz immer größer, je kleiner L und C gewählt werden, indem man Windungszahl und Durchmesser der Spule vermindert bzw. beim Kondensator die Oberfläche verkleinert und den Plattenabstand vergrößert (Bild 5 Teil 1 und Teil 2). Wird der Plattenabstand im Verhältnis zur Oberfläche beträchtlich – grob gesagt dann, wenn der Abstand der Platten deren Durchmesser übersteigt – so wird das Feld inhomogen und tritt an den Rändern aus dem »eigentlichen« Kondensator heraus (Teilbilder 3 und 4). Gegen Ende besteht die »Spule« nur noch aus der sie speisenden offenen Leiterschleife und der »Kondensator« nur noch aus deren beiden offenen Enden (Teilbild 5). Das Magnetfeld (blau) fängt nun an, nach rechts, in den Bereich des elektrischen Feldes, zu kriechen, und das elektrische Feld (rot) breitet sich nach links hin aus und wildert so auch in fremden Revieren, da die Drähte zwischen L und C sowohl mit ihren Induktivitäten als auch mit der Kapazität zwischen ihnen sowohl die eigentliche Induktivität als auch die eigentliche Kapazität ergänzen (Teilbild 6). Das Ganze gipfelt in einem geraden Stück Draht, einer Sende-Antenne, die sowohl ein winziges Bisschen Längs-Induktivität als auch ein winziges Bisschen Kapazität zwischen ihren Enden aufweist. Die Resonanzfrequenz liegt jetzt im Bereich von Gigahertz, und das magnetische Feld ist mit dem elektrischen zu einem elektromagnetischen Feld verschmolzen. Heureka.

Ab wann genau dies stattfindet? Der Übergang ist fließend – und außerdem davon abhängig, welche räumliche Ausdehnung man denn betrachtet. Bekanntlich ist die Wellenlänge λ definiert als die Ausbreitungsgeschwindigkeit, im vorliegenden Fall gleich der Lichtgeschwindigkeit c = 299.792,5 km/s, durch die Frequenz f:

Die Wellenlänge beschreibt also den Abstand von einem »Wellenkamm« zum voraus gegangenen. Ist der betrachtete Raum um die Quelle der Wellen (etwa im Durchmesser) nun deutlich größer als die Wellenlänge, so finden sich innerhalb dieses Raumes zahlreiche »Wellenkämme« sowohl elektrischer als auch magnetischer Wanderwellen – wenn auch in einer gewissen kugelförmigen, konzentrischen Anordnung um die Quelle herum, aber der Raum ist dann von »elektromagnetischen« Wellen erfüllt. Im umgekehrten Fall ist der betrachtete Raum wechselweise einmal von einem elektrischen und einmal von einem magnetischen Feld durchsetzt. Die Komponenten erscheinen dann als deutlich getrennte Phänomene. Im Grenzbereich, wenn der betrachtete Raum ungefähr eine Wellenlänge im Durchmesser misst, kann man sich streiten.