Oberschwingungen – was ist das überhaupt?

Manche Elektrofachkräfte meinen noch immer, Oberschwingungen gingen von Trunkenheit des Personals in der Gastronomie aus – doch mitnichten. Erheblich mehr haben sie mit den aus der Musik bekannten Obertönen zu tun, weswegen sie auch als »Harmonische« bezeichnet werden, obschon sie im Netz für allerlei Disharmonie sorgen können – aber keineswegs müssen, und darum geht es.

Die Mathematik dahinter

Bild 1
Bild 1: Grafische Synthese eines Dreieckstroms (dick, dunkelblau) aus der Grund¬schwingung (schwarz) und den Oberschwingungen 3 bis 17

Ihnen liegt das Prinzip zu Grunde, dass sich jeder zwar periodische, nicht jedoch sinusförmige Vorgang durch eine theoretisch unendliche Summe sinusförmiger Vorgänge zusammensetzen lässt, wie der französische Mathematiker Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822 herausfand. Während es damals noch fast keinen elektrischen Strom gab, findet diese zunächst rein mathematische Entdeckung heute ihre wohl bedeutendste praktische Anwendung in der Elektrotechnik. Die so genannte, links und unten an zwei Beispielen dargestellte Fourier-Analyse einer beliebigen, periodisch verlaufenden Kurvenform besagt demnach, dass eine jede solche Funktion aus sinusförmigen Teilschwingungen besteht. Es sind dies die Grundschwingung, die den sinusförmigen Anteil gleicher Frequenz (Grundfrequenz) der betreffenden Funktion darstellt, und die Oberschwingungen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache hiervon sind.

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Bild 2: Grafische Synthese eines Rechteckstroms (dick, dunkelblau) aus der Grundschwingung (schwarz) und den Oberschwingungen 3 bis 17

Den ganzzahligen Faktor, um den sich die Frequenz einer Teilschwingung von der Grundschwingungsfrequenz unterscheidet, nennt man die Ordnung oder Ordnungszahl der jeweiligen Teilschwingung. Die Grundschwingung selbst hat somit die Ordnungszahl 1.

In Bild 1 wurde ein dreieckförmiger, in Bild 2 ein rechteckiger Stromverlauf einer Frequenz von jeweils 50 Hz aus seiner Grundschwingung und seinen Oberschwingungen zusammengesetzt. Beiden Fällen sind zwei Beobachtungen gemein:

  • In beiden Verläufen sind Harmonische gerader Ordnungszahlen nicht enthalten. Die kleinste jeweils vorkommende Harmonische ist somit die dritte mit ihrer Frequenz von 150 Hz. Dies ist typisch für die meisten technisch vorkommenden Kurvenformen.
  • In beiden Fällen nehmen die Amplituden der einzelnen Oberschwingungen von einer Ordnungszahl zur nächsthöheren kontinuierlich ab. Dies ist immer so, abgesehen vom gänzlichen Fehlen der geradzahligen Anteile. Folglich kann man für technische Zwecke – abhängig von der erforderlichen Genauigkeit – das Zusammenzählen der Oberschwingungen bei einer bestimmten Ordnungszahl abbrechen. Im Beispiel wurde in beiden Fällen bis zur siebzehnten gerechnet.
Tabelle 1
Tabelle 1: Rechnerische Synthese eines Dreieckstroms aus der Grundschwingung und den Harmonischen 3 bis 17

Daneben gibt es aber auch einige Abweichungen zwischen beiden Fällen. Zur Veranschaulichung wurden die Werte zusätzlich in Tabelle 1 und Tabelle 2 einander nummerisch gegenüber gestellt. Die Amplituden der beiden Beispielkurven wurden so gewählt, dass sich in jedem Fall ein theoretischer Gesamt-Effektivstrom von 1 A ergibt. Beim voll ausgetasteten Rechteckstrom (der nicht »lückt«, also keine »Pausen« um die Nulldurchgänge aufweist) entspricht dies natürlich einem Scheitelwert von ebenfalls 1 A – denn was heißt schon »Scheitel« bei einem Rechteck? Bei der Dreieckform beträgt der Faktor 1/√3, wie sich in Formelsammlungen nachlesen lässt. In den beiden Tabellen 1 und 2 wurden jeweils die Effektivwerte der darzustellenden Summenkurven im Bereich bis zur Ordnungsnummer 17 zusammengezählt. Die Addition erfolgt »pythagoräisch«; der Gesamt-Effektivwert errechnet sich also, wie immer bei der Überlagerung mehrerer Frequenzen, indem man die einzelnen Werte quadriert, die Quadrate addiert und aus der Summe wieder die Wurzel zieht. Ein Minuszeichen bedeutet lediglich, dass die betreffende Harmonische mit einer negativen Halbschwingung beginnt, obwohl die Grundschwingung mit einer positiven Sinus-Halbschwingung anfängt. Beim Quadrieren scheiden die Minuszeichen dann dahin: Auf den Effektivwert des Gesamtstroms wirken sie sich nicht aus – obwohl im Falle von Bild 13 zu jeder Halbschwingung der Grundschwingung drei Halbschwingungen der fünften Oberschwingung hinzu gezählt und nur zwei abgezogen werden. In Bild 14 hingegen werden zu jeder Halbschwingung der Grundschwingung nur zwei Halbschwingungen der fünften Oberschwingung hinzu gezählt, aber drei abgezogen. Die Überlagerung Scheitel auf Scheitel ist jedoch wegen der Quadratur »effektiver« und trägt so mehr zum Effekivwert bei. Man könnte sagen, dass der Strom in Teilzeit effektiver arbeitet als in Vollzeit. Die so errechneten Werte wurden farblich hervorgehoben. Folgende Unterschiede fallen dabei auf:

Tabelle 2
Tabelle 2: Rechnerische Synthese eines Rechteckstroms aus der Grundschwingung und den Harmonischen 3 bis 17
  • Man erkennt, dass in Tabelle 1, auf 3 Kommastellen genau gerechnet, mit 17 Harmonischen dieser Wert auf 5 Stellen genau erreicht wird, in Tabelle 2 dagegen nicht. Man hätte hier noch weitere Oberschwingungen berücksichtigen müssen, um zur gleichen Genauigkeit zu gelangen.
  • Man erkennt das Gleiche auch in den Diagrammen: In Bild 2 sind die gleichen Oberschwingungen enthalten wie in Bild 1; in Bild 2 jedoch ist jede einzelne von ihnen stärker vertreten als diejenige entsprechender Ordnung in Bild 1.
  • Auch optisch ist dieser Unterschied wahrnehmbar: Während in Bild 1 die Synthese der Dreieckskurve recht gut gelungen ist, fehlt in Bild 2 noch ziemlich viel bis hin zu etwas, was sich mit einigem Recht »Rechteck« hätte nennen dürfen.

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Die anschauliche Vorstellung

Und das ist kein Zufall; fügt sich doch die »Zielkurve Dreieck« schon einigermaßen »harmonisch« in die Sinuskurve der Grundschwingung hinein. Was nun noch in Form von Oberschwingungen beschrieben werden muss, ist die Differenz zwischen beiden – und das ist hier nicht besonders viel.

Ganz anders sieht die Sache im zweiten Fall aus: Das Rechteck ist weit davon entfernt, Ähnlichkeiten mit seiner eigenen Grundschwingung aufzuweisen, also mit einer Sinusschwingung gleicher Frequenz und ähnlicher Amplitude. Entsprechend groß ist die durch Oberschwingungen aufzufüllende Differenz.

Tatsächlich sind die Oberschwingungen kein Gedankenkonstrukt der Mathematiker, sondern existieren wirklich und wahrhaftig physisch im Draht, wo sie sich messen und durch entsprechende Schaltungen auch z. B. voneinander trennen lassen, so dass sie von dort an einzeln in separaten Drähten weiter fließen. Umgekehrt bedeutet dies aber wiederum nicht, dass sich – noch vor der Trennstelle – ein Elektron im selben Moment von links nach rechts bewegt, in dem sich ein anderes von rechts nach links bewegt, auch wenn eine Oberschwingung zum selben Zeitpunkt einen negativen Augenblickswert haben kann, in dem eine andere gerade positiv ist. Hinter der Trennstelle dagegen können sich sehr wohl die Vorzeichen der jeweiligen Augenblickswerte der Ströme in den beiden Leitern unterscheiden. Diese Situation ist jener in den drei Neutralleitern vergleichbar, werden diese separat zum Sternpunkt zurück geführt statt bis zum Punkt der Aufteilung in Einphasen-Stromkreise einen gemeinsamen Neutralleiter zu legen. Die typischen Merkmale und Auswirkungen einer jeden der einzelnen Frequenzen sind aber auch vorher schon, im gemeinsamen Draht vor der Aufteilung, gleichzeitig nachweisbar. Das macht die Vorstellung dessen, was wirklich im Draht abläuft, ein wenig schwierig.

Oberschwingungen entstehen durch nicht lineare Lasten. Dies sind – wiederum anschaulich dargestellt – solche, deren Impedanzen nicht konstant sind, sondern sich mehrmals je Periode des Wechselstromnetzes ändern. Man denke z. B. an eine einfache Diode: In dem Moment, in dem sich der Strom umkehrt, ändert sich die Impedanz nahezu schlagartig von einem sehr niedrigen zu einem sehr hohen Wert oder umgekehrt. Dies und viele ähnliche Zusammenhänge werden Gegenstände der folgenden Ausführungen sein.